Question :
Est-ce que le pèlerinage de l'enfant est agréé ? Qu'en est il de ses actes d'adorations(prières...) et ses bonnes actions ?

Réponse :
Allah dans Sa Justice et Sa générosité récompense l'enfant sur les adorations et les bonnes actions qu'il fait ainsi que son tuteur qui lui a appris cela. Ceci dit , rien des actes d'adorations (prière, jeûnes, Hadj...) n'est obligatoire pour lui (car il n'a pas atteint la puberté).
Voir le détail sur la prière de l'enfant et le rôle des parents sur :
prière de l'enfant

Ibn Rushd dans son Bidâyat al-mujtahid (tome I page 475) dit :
L'enfant qui fait son pèlerinage avec ses parents : ce pèlerinage est valide pour lui.
Les malikites et Shafiites sont d'accord pour cela et leur preuve est solide :
Al-Bukhârî et Muslim dans son Sahîh (Kitâb Al-Hadj 2/974 et Hadîth 409/1336) rapportent :
« Une femme a montré son enfant au Prophète (paix et salut sur lui) et lui a demandé : « Est-ce que le Hadj de cet enfant est accepté ? Il répondit : « Oui , et tu auras un mérite (pour cela) (na'am wa laki ajran) » »
إن امرأة رفعت إليه عليه الصلاة و السلام صبيا فقالت »
ألهذا حج يا رسول الله
قال نعم ولك أجر »

Les malikites divergent seulement à propos de celui qui est encore bébé qui allaite (ar-radî') (qui ne distingue rien) ; mais ils convergent sur la validité du Hadj de l'enfant qui a 7 ans ou dix ans et plus (car c'est l'âge où sa prière est valide sans être obligatoire bien sûr : elle ne sera obligatoire pour lui qu'à partir de la puberté)

Notez bien :
Ce pèlerinage(Hadj) de l'enfant est certes valide(en tant que acte méritoire volontaire) et récompensé, mais n'exonère pas du Hadj après la puberté : car une fois que l'enfant devient pubère: le Hadj est à refaire obligatoirement par lui et reste une dette vis à vis d'Allah (dès qu'il a la possibilité il faut qu'il le refasse) :
Ceci est prouvé par le hadîth :
Ibn Abbâs rapporte que le Prophète (paix et salut sur lui ) a dit « Si l'enfant effectue le Hadj puis atteint la puberté : il aura à effectuer un deuxième Hadj ... »
Hadîth hasan.

من حديث ابن عباس رضي الله عنهما أن النبي صلى الله عليه وسلم قال:
أيما صبي حج ثم بلغ الحنث فعليه أن يحج حجة أخرى وأيما عبد حج ثم أعتق
فعليه حجة أخرى
أخرجه ابن أبي شيبة والبيهقي بإسناد حسن.

الحج من غير البالغ تعتبر تطوعاً، ولا تكفي عن حجة الإسلام